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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
e) f(x)=xln⁡(x)f(x)=x \ln(x)

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que lo de adentro del logaritmo sea mayor estricto que cero, es decir, x>0x > 0. 

Por lo tanto, el dominio de ff es (0,+∞)(0,+\infty).

2)\textbf{2)} Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es (0,+∞)(0,+\infty), el 00 es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando xx tiende a 00 por derecha para ver el comportamiento de la función:

lim⁡x→0+xln⁡(x) \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) Acordate que ln⁡(x)\ln(x) tiende a −∞-\infty cuando lo adentro tiende a cero, por lo tanto estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". Vamos a reescribir f(x)f(x) de una manera conveniente para poder aplicar L'Hopital.
lim⁡x→0+ln⁡(x)1x\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} 

Ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital.
=lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+−x2x=lim⁡x→0+−x=0 = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} -x = 0

Como el límite nos dio 00, entonces en x=0x=0 no tenemos asíntota vertical.

- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando xx tiende a +∞+\infty 

lim⁡x→+∞xln⁡(x)=+∞ \lim_{x \to +\infty} x \ln(x) = +\infty

3)\textbf{3)} Calculamos f′(x) f'(x) :

f′(x)= ln⁡(x)+x⋅1x f'(x) =  \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} f′(x)= ln⁡(x)+1 f'(x) =  \ln(x) + 1

4)\textbf{4)}Igualamos f′(x) f'(x) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

ln⁡(x)+1=0 \ln(x) + 1 = 0 ln⁡(x)=−1 \ln(x) = -1 x=e−1=1e x = e^{-1} = \frac{1}{e}

Tenemos un punto crítico en x=1e x = \frac{1}{e} .

5)\textbf{5)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) 0<x<1e 0 < x < \frac{1}{e} b) x>1e x > \frac{1}{e}

6)\textbf{6)} Evaluamos el signo de f′(x) f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para 0<x<1e 0 < x < \frac{1}{e} f′(x)<0 f'(x) < 0 , por lo tanto ff es decreciente

b) Para x>1e x > \frac{1}{e} f′(x)>0 f'(x) > 0 , por lo tanto ff es creciente

Con toda la información que tenemos ya podemos graficar f(x)f(x). Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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Fernando
22 de mayo 15:03
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0 Responder
Flor
PROFE
22 de mayo 17:37
@Fernando Jajajaja amo que arranque a responder las dudas de hoy y me fui encontrando con esto 😂
0 Responder
Fernando
22 de mayo 19:21
hay que comenzar a hacer los 51 ejercicios de la guia 7 con risas para no caer en la locura 💪
0 Responder